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Java 图的最小生成树 — prim算法和kruskal算法

磊@lei / 文 发表于2018-05-21 13:46 次阅读 ,算法,java

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的权值和边最小

图

一、最小生成树的应用

生成树和最小生成树有许多重要的应用。

例如:要在n个城市之间铺设光缆,主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权值的最小生成树。

构建最小生成树时最常用的方法就是prim算法和kruskal算法

二、图的入度和出度

1.构建图的邻接矩阵

以上图中的图结构为例,由于图是顶点与顶点之间的连接关系,又带有权值,所以我们可以用邻接矩阵来表示图中顶点的关系

图的邻接矩阵

  • 矩阵中的值代表顶点与顶点之间的权值,由于示例是一个无向图,所以这个矩阵是以对角线对称的
  • 我们可以将矩阵看成一个二维数组,因此就可以很容易的创建出这个图的数据结构了
int[] graph0 = new int[]{0, 10, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};
int[] graph1 = new int[]{10, 0, 18, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, 12};
int[] graph2 = new int[]{MAX_WEIGHT, 18, 0, 22, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 8};
int[] graph3 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 22, 0, 20, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 21};
int[] graph4 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 20, 0, 26, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT};
int[] graph5 = new int[]{11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 26, 0, 17, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};
int[] graph6 = new int[]{MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 17, 0, 19, MAX_WEIGHT};
int[] graph7 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 7, MAX_WEIGHT, 19, 0, MAX_WEIGHT};
int[] graph8 = new int[]{MAX_WEIGHT, 12, 8, 21, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0};

2.入度与出度

  • 顶点的出边条数称为该顶点的出度
  • 顶点的入边条数称为该项点的入度
  • 则在矩阵中某个点的入度和出度即为横向和纵向的有效权值个数
/**
 * 获取某个顶点的出度
 *
 * @param index 顶点序号
 * @return 出度
 */
public int getOutDegree(int index) {
    int degree = 0;
    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
        int weight = matrix[index][i];
        if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {
            degree++;
        }
    }
    return degree;
}

/**
 * 获取某个顶点的入度
 *
 * @param index 顶点序号
 * @return 入度
 */
public int getInDegree(int index) {
    int degree = 0;
    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
        int weight = matrix[i][index];
        if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {
            degree++;
        }
    }
    return degree;
}

三、prim(普里姆)算法

算法思路:

  1. 定义一个临时的一维数组,用于存放可用的连接边,数组下标为顶点序号,值为权值
  2. 任选一个点作为起点,以起点的所有权值对数组进行初始化
  3. 找出数组中最小权值的边,即为最小生成树中的一条有效边
  4. 将找到的最小边在数组中赋值为0,代表已经使用过。并将数组与找到顶点的所有边进行比较,若顶点的边的权值比当前数组存放的可用边的权值小,则进行覆盖
  5. 重复循环2,3,4的操作直至遍历完所有顶点

算法代码:

/**
 * 最小生成树,普里姆(prim)算法
 */
public void createMinSpanTreePrim() {
    // 定义一维数组,存放用于比较最小权值的顶点权值,0代表已经比较过
    int[] lowcost = new int[vertexSize];

    // 初始化数组为第一个顶点的权值
    System.arraycopy(matrix[0], 0, lowcost, 0, vertexSize);

    int sum = 0;
    // 循环比较
    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {

        // 先比较找出最小的权值节点
        int min = -1;
        for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {
            if (lowcost[j] > 0 && lowcost[j] < MAX_WEIGHT) {
                if (min == -1 || lowcost[min] > lowcost[j]) {
                    min = j;
                }
            }
        }

        // 判断是否全部为0,找不到最小值
        if (min == -1) {
            break;
        }

        System.out.println("访问到了节点:" + min + ",权值:" + lowcost[min]);
        sum += lowcost[min];

        // 将当前节点的值修改成0
        lowcost[min] = 0;

        // 将存放最小权值的数组与下一个节点的所有连接点对比,找出最小权值
        for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {
            if (matrix[min][j] < lowcost[j]) {
                lowcost[j] = matrix[min][j];
            }
        }
    }
    System.out.println("最小生成树的权值总和:" + sum);
}

下图是画的一个针对此代码运行的流程图(画了半天发现在文章中显示的比较小,如果看起来觉得小的同学可以下载原图后放大观看)

  • 绿色代表一维数组中存放的可用最小边
  • 红色代表找到的最小生成树的边

prim流程图

四、kruskal(克鲁斯卡尔)算法

算法思路:

  1. 现将所有边进行权值的从小到大排序
  2. 定义一个一维数组代表连接过的边,数组的下标为边的起点,值为边的终点
  3. 按照排好序的集合用边对顶点进行依次连接,连接的边则存放到一维数组中
  4. 用一维数组判断是否对已经连接的边能构成回路,有回路则无效,没回路则是一条有效边
  5. 重复3,4直至遍历完所有的边为止,即找到最小生成树

首先将所有边按权值进行排序

kruskal算法

定义一个边的对象

/**
 * 连接顶点的边
 */
class Edge {

    private int start;
    private int end;
    private int weight;

    public Edge(int start, int end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
}

按照排序的图对边进行初始化

Edge edge0 = new Edge(4, 7, 7);
Edge edge1 = new Edge(2, 8, 8);
Edge edge2 = new Edge(0, 1, 10);
Edge edge3 = new Edge(0, 5, 11);
Edge edge4 = new Edge(1, 8, 12);
Edge edge5 = new Edge(3, 7, 16);
Edge edge6 = new Edge(1, 6, 16);
Edge edge7 = new Edge(5, 6, 17);
Edge edge8 = new Edge(1, 2, 18);
Edge edge9 = new Edge(6, 7, 19);
Edge edge10 = new Edge(3, 4, 20);
Edge edge11 = new Edge(3, 8, 21);
Edge edge12 = new Edge(2, 3, 22);
Edge edge13 = new Edge(3, 6, 24);
Edge edge14 = new Edge(4, 5, 26);

最小生成树算法代码:

/**
 * kruskal算法创建最小生成树
 */
public void createMinSpanTreeKruskal() {
    // 定义一个一维数组,下标为连线的起点,值为连线的终点
    int[] parent = new int[edgeSize];
    for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {
        parent[i] = 0;
    }

    int sum = 0;
    for (Edge edge : edges) {

        // 找到起点和终点在临时连线数组中的最后连接点
        int start = find(parent, edge.start);
        int end = find(parent, edge.end);

        // 通过起点和终点找到的最后连接点是否为同一个点,是则产生回环
        if (start != end) {

            // 没有产生回环则将临时数组中,起点为下标,终点为值
            parent[start] = end;
            System.out.println("访问到了节点:{" + start + "," + end + "},权值:" + edge.weight);
            sum += edge.weight;
        }
    }
    System.out.println("最小生成树的权值总和:" + sum);
}

/**
 * 获取集合的最后节点
 */
private int find(int parent[], int index) {
    while (parent[index] > 0) {
        index = parent[index];
    }
    return index;
}

下图是画的一个针对此代码运行的流程图

  • 红色代表找到的最小生成树的边
  • 蓝色代表找到的边但是是回环则无效

kruskal流程图

源码地址

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